STATISTIKA DAN PROBABILITAS
Oleh:
ZULFAHMI
..03010044
FAKULTAS TEKNIK SIPIL
AL-MUSLIM
TAHUN 2016-2017
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Pada dasarnya statistika ialah sebuah konsep dalam bereksperimen, menganalisa data yang bertujuan untuk mengefisiensikan waktu, tenaga dan biaya dengan memperoleh hasil yang optimal.Berdasarkan definisinya Statistika merupakan ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.Data sendiri merupakan kumpulan fakta atau angka.
Disadari atau tidak, statistika telah banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari.Bahkan pemerintah menggunakan statistika untuk menilai hasil pembangunan masa lalu dan juga untuk membuat rencana masa datang. Begitu pula Pimpinan mengambil manfaat dari kegunaan statistika untuk melakukan tindakan - tindakan yang perlu dalam menjalankan tugasnya, diantaranya: perlukah mengangkat pegawai baru, sudah waktunyakah untuk membeli mesin baru, bermanfaatkah kalau pegawai di tatar, bagaimanakah kemajuan usaha tahun tahun yang lalu, berapa banyak barang harus dihasilkan setiap tahunnya, perlukah sistem baru dianut dan sistem lama ditinggalkan, dan masih banyak lagi untuk disebutkan. Dunia penelitian atau riset, dimanapun dilakukan bukan saja telah mendapat manfaat yang baik dari statistika tetapi sering harus menggunakannya. Untuk mengetahui apakah cara yang baru ditemukan lebih baik daripada cara lama, melalui riset yang dilakukan dilaboratorium, atau penelitian yang dilakukan di lapangan, perlu diadakan penilaian dengan statistika. Apakah model untuk sesuatu hal dapat kita anut atau tidak, perlu diteliti dengan menggunakan teori statistika.Statistika juga telah cukup mampu untuk menentukan apakah faktor yang satu dipengaruhi atau mempengaruhi faktor lainnya.Kalau ada hubungan antara factor - faktor, berapa kuat adanya hubungan tersebut?Bisakah kita meninggalkan faktor yang satu dan hanya memperhatikan faktor lainnya untuk keperluan studi lebih lanjut.
Uraian singkat tadi, hendaknya cukup dapat memberikan gambaran bahwa statistika sebenarnya diperlukan, minimal penggunaan metodanya. Sesungguhnya statistika sangat diperlukan bukan saja hanya dalam penelitian atau riset, tetapi juga perlu dalam bidang pengetahuan lainnya seperti : teknik, industri, ekonomi, astronomi, biologi, kedokteran, asuransi, pertanian, perniagaan, bisnis, sosiologi, antropologi, pemerintahan, pendidikan, psikologi, meteorologi, geologi, farmasi, ekologi, pengetahuan alam, pengetahuan sosial, dan lain sebagainya.
Penguasaan statistika dan kemampuan menggunakannya merupakan suatu hal yang sangat penting dan sangat bermanfaat bagi sebuah organisasi perusahaan khususnya dalam bidang ekonomi dan bisnis.Karena dengan itu, sebuah organisasi perusahaan bisa mendapatkan informasi yang sangat berguna bagi kemajuan perusahaannya. Informasi tersebut bisa didapatkan dari hasil pengolahan data yang telah disimpulkan kemudian data tersebut bisa kita analisa untuk dijadikan bahan perkiraan dalam mengambil keputusan di masa yang akan datang. Semakin berkembang pesatnya teknologi di zaman sekarang ini, setiap perusahaan menginginkan agar bisa menggunakan teknologi tersebut dalam membuat sebuah perencanaan yang matang untuk masa depan perusahaannya dari informasi yang telah ada pada perusahaannya. Informasi tersebut terdiri dari data variabel dan juga data numerik yang telah dikumpulkan, dibagi-bagi, kemudian diolah menjadi data ringkasan yang berbentuk variabel maupun angka-angka. Dalam pengolahan data tersebut, setiap perusahaan bisa menggunakan teknologi komputer dari aplikasi yang telah dibuat oleh Perusahaan Microsoft seperti Microsoft Office Excel dan ada juga aplikasi komputer yang membantu untuk pengolahan data seperti aplikasi SPSS. Oleh karena itu, kami mencoba untuk membuat kerangka tulisan ini yang membahas mengenai bagaimana cara penggunaan aplikasi tersebut dalam pengolahan data yang diinginkan dengan pengetahuan yang kami dapatkan dari kuliah Statistika Deskriptif dan juga dari berbagai sumber yang kami peroleh baik dari media internet maupun buku-buku yang membahas tentang penggunaan aplikasi tersebut.
Dalam makalah ini, kami akan membahas materi yang berjudul ”STISTIKA DAN PROBABILITAS”. Alasan kami memilih judul ini karena kami ingin menambah wawasan tentang bagaimana data itu tersebar.
1.2 Tujuan
1. Memahami cara menentukan Data-data dalam statistik dan Probabilitas.
2. menunjukan manfaat statistika dan probabilitas dalam kehidupan sehari-hari
3. Untuk memenuhi salah satu tugas ujian MID 2 semester 1 pada mata kuliah Statistika
1.3 Rumusan Masalah
1. Pengertian statistika dan distribusi frekuensi data
2. Probabilitas dan bagian-bagiannya
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 STATISTIKA
2.1.1 Pengertian Statistika dan Distribusi Frekuensi
1. Statistik adalah kumpulan data, disajikan dalam bentuk table/daftar, gambar, diagram atau ukuran-ukuran tertentu. Misalnya, statistic penduduk, statistic kelahiran, statistic pertumbuhan ekonomi, statistic pendidikan, dan lain-lain.
2. Statistika, adalah pengetahuan mengenai pengumpulan data, klasifikasi data, pengolahan data, penarikan kesimpulan dan pengambilan keputusan berdasarkan alasan yang cukup kuat.
3. Statstika Matematik/Statistika Teoretik, adalah statistika yang membahas bagaimana sifat-sifat, dalil-dalil dan rumus-rumus statistika diturunkan, bagaimana menciptakan model-model teoretis dan matematis
4. Statistika terapan/Teknik Analisis Data, adalah statistika yang membahas cara-cara penggunaan statistik, antara lain untuk keperluan penelitian.
5. Macam-macam Statistik
a. Statistik Deskriptif (Statistik Dasar), yaitu statistik yang digunakan untuk menggambarkan atau menganalisis suatu statistik hasil penelitian tetapi tidak digunakan untuk generalisasi/inferensi. Penelitian yang tidak menggunakan sampel, analisisnya menggunakan statistik deskriptif. Demikian juga penelitian yang menggunakan sampel, tetapi tidak bermaksud untuk membuat kesimpulan untuk populasi dari mana sampel diambil, analisis datanya menggunakan statistik deskriptif. Dalam hal ini, teknik korelasi dan regresi juga dapat berperan sebagai statistik deskriptif.
b. Statistik Inferensial (statistik induktif) adalah statistik yang digunakan untuk menganalisis data sampel dan hasilnya akan digeneralisasikan/ diinferensikan kepada populasi dimana sampel itu diambil. Statistik inferensial ada dua macam, yaitu: (a) statistik parametrik, yang digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio, yang diambil dari populasi yang berdistribusi normal; dan (b) statistik non parametrik, yang digunakan untuk menganalisis data nominal dan ordinal, yang diambil dari populasi yang bebas disribusi (tidak harus normal).Dalam hal ini, teknik korelasi dan regresi dapat berperan sebagai statistik inferensial. Mengenai macam-macam statistik, dapat diperiksa bagan berikut.
B. Data Statistik
Data dalam penelitian dapat digolongkan sebagai berikut ini.
1. Data mentah, data yang belum diolah atau dianalisis
2. Data primer (data dari sumber pertama) dan data sekunder data dari sumber ke dua)
3. Data kuantitatif (dapat dinyatakan dalam bilangan), terdiri atas:
a. data kontinum, data interval, data rasio
b. data diskrit: (1) data nominal, (2) data ordinal, (3) data dikotomi
4. Data kualitatif: berupa atribut
Mengenai jenis data, disajikan pada bagan berikut.
C. Fungsi Statistika
1. Statistik Deskriptif berfungsi untuk membuat data bermakna, yang dapat disajikan dengan berbagai bentuk, seperti:
a. tabel/daftar, gambar, diagram/grafik;
b. ukuran tendensi sentral (mean atau rerata, median atau nilai tengah, dan modus
c. ukuran dispersi (penyebaran): rentangan, simpangan (deviasi), simpangan baku, dan varians;
2. Statistik Inferensial/induktif, digunakan untuk melakukan: (a) generalisasi, dari sampel ke populasi, (b) uji hipotesis (membandingkan atau uji perbedaan/kesamaan, dan menghubungkan, yaitu uji keterkaitan, kontribusi);
3. Untuk memprediksi, dengan teknik: (a) regresi linier (hubungan fungsional), (b) regresi kurvilinier, kuadratik, logaritmik hiperbolik, dll), (c) korelasi, keterkaitan, hubungan timbal balik, yaitu derajat hubungan (koefisien korelasi) dan kadar sumbangan (koefisien determinasi).
D. Skala Pengukuran
Ada empat macam skala pengukuran, yaitu: (1) skala nominal, (2) skala ordinal, (3) skala interval, dan (4) skala ratio.
1. Skala Nominal
Skala nominal adalah angka yang hanya memiliki ciri klasifikasi dari suatu obyek. Misalnya, nomor rumah, nomor plat kendaraan, nomor telepon, dan yang sejenis. Angka atau simbul yang tertera pada obyek tersebut hanya merupakan klasifikasi.
2. Skala Ordinal
Skala ordinal adalah suatu skala yang mempunyai klasifikasi dan tingkatan atau ranking dan tidak mempunya interval yang tetap. Misalnya, di dalam kelas ada siswa yang memperoleh rangkin I, rangking II, dan seterusnya. Hal yang sama terjadi pada kejuaraan, seperti juara satu, juara dua,juara tiga, dan seterusnya.
Skala ordinal memiliki ciri: klasifikasi dan tingkatan, yang jaraknya tidak sama.
3. Skala Interval
Skala interval adalah suatu skala yang mempunyai ciri: klasifikasi, tingkatan, dan unit-unit yang sama, dan mempunyai jarak yang sama, tetapi tidak memiliki angka nul mutlak. Misalnya, siswa yang memperoleh skor 0 sampai dengan 10 diberi nilai 0 (E), yang memperoleh skor 11 sampi dengan 20 diberi nilai 1(D), dan seterusnya. Siswa yang memperoleh nilai 4, tidak berarti bahwa siswa yang memperoleh nilai 4 memiliki kepandaian dua kali yang memiliki nilai 2. Contoh lain, suhu udara mempunyai rentangan 0 sampai dengan 100 derajat Celcius.
4. Skala Ratio
Skala ratio adalah suatu skala yang memiliki ciri: klasifikasi, tingkatan, dan memiliki nul mutlak. Misalnya, ukuran panjang, ukuran berat, umur, ukuran isi, dan ukuran lainnya yang sejenis. Misalnya, panjang benda 4 meter dibandingkan dengan 2 meter, berarti benda yang panjangnya 4 meter adalah 2 kali benda yang panjangnya 2 meter.
E. Teknik Penyajian Data
Penyajian data dapat dilakukan berdasarkan jenis skala yang telah diuraikan diatas, misalnya berdasarkan skala nominal, skala ordinal, skala interval, dan skala ratio. Hal tersebut dapat dilakukan dengan cara-cara berikut.
Statistik, secara istilah memiliki arti data yang berupa angka-angka yang dikumpulkan, ditabulasi, digolong-golongkan sehingga dapat memberikan informasi yang berarti mengenai suatu masalah atau gejala yang terjadi. Dari kumpulan data yang berupa angka-angka tersebut terdapat ukuran gejala pusat data yang berguna untuk mengetahui lokasi data dibandingkan dengan pusat data.
Statistika merupakan ilmu yang mempelajari statistik yaitu ilmu tentang pengumpulan, pengolahan, penyajian, dan analisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh. Ilmu Statistika berguna untuk memberikan informasi atas gejala perubahan yang terjadi dengan menjelaskan hubungan antar variabel yang ada, dan juga untuk mengambil keputusan yang lebih baik dari perencanaan yang dilakukan.
Dalam ilmu statistika terdapat istilah distribusi frekuensi.Distribusi frekuensi adalah penyusunan data ke dalam kelas-kelas tertentu yang sebelumnya data tersebut masih mentah atau belum dikelompokkan kemudian diatur sedemikian rupa sehingga menjadi data yang sudah dikelompokkan yang tertata rapih tanpa menghilangkan informasi yang sudah ada. Distribusi frekuensi terbagi menjadi dua macam yaitu Distribusi Frekuensi Numerical (pengelompokkan data dengan angka-angka) dan Distribusi Frekuensi Kategorikal (pengelompokkan data berdasarkan ketegori-kategori tertentu).
2.1.2 Definisi Statistik
Ada 2 pendekatan untuk menganalisis informasi berdasarkan jenis informasi yang diperoleh, yaitu analisis kuantitatif dan analisis kualitatif.Analisis kuantitatif/analisis data kuantitatif adalah analisis yang berbasis pada kerja hitung-menghitung angka. Angka yang diolah disebut input dan hasilnya disebut output juga berupa angka. Analisis kualitatif/analisis data kualitatif adalah analisis yang berbasis pada kerja pengelompokan simbol-simbol selain angka.Simbol itu berupa kata, frase, atau kalimat yang menunjukkan beberapa kategori. Input maupun output analisis datakualitatif berupa simbol, dimana outputnya disebut deskripsi verbal.
Statistik adalah sebagai alat pengolah data angka.Stasistik dapat jugadiartikan sebagai metode/asas-asas guna mengerjakan/memanipulasi data kuantitatifagar angka berbicara.Pendekatan dengan statistik sering digunakan metode statistic yaitu metode guna mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisis dan menginterpretasikan data statistik.Statistika dapat pula diartikan pengetahuan yangberhubungan dengan pengumpulan data, pengolahan data, penganalisisan danpenarikan kesimpulan berdasarkan data dan analisis.Jadi statistik adalah produk dari kerja statistika.
Ada dua konsep dalam bahasa Inggris.Statistic: nilai yang dihitung dari sebuah sampel (mean, median, modus, dsb). Statistics: metode ilmiah untuk pengumpulandata atau kumpulan angka. Dalam bahasa Indonesia, statistik memiliki 3 pengertiandimuka.
•Kumpulan data = data
•Nilai yang dihitung dari dari sebuah sampel = statistik sampel
• Metode ilmiah guna mengumpulkan, mengolah, menyajikan, dan analisis data = statistik
2.1.2.1 Pengertian Dispersi dan Rumusannya
Dispersi / Ukuran penyebaran Data adalah suatu ukuran baik parameter atau statistika untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data.Melalui ukuran penyebaran dapat diketahui seberapa jauh data-data menyebar dari titik pemusatannya/ suatu kelompok data terhadap pusat data.Ukuran ini kadang – kadang dinamakan pula ukuran variasi yang mnggambarkan berpencarnya data kuantitatif. Beberapa ukuran dispersi yang terkenal dan akan diuraikan disini ialah : Rentang, Rentang natar kuartil, simpangan kuartil/deviasi kuartil, rata-rata simpangan/rata-rata deviasi, simpangan baku atau standar deviasi, variansi dan koefisien variansi, jangkauan kuartil, dan jangkauan persentil.
2.1.2.2 Rentang (range) :
Rentang (Range) dinotasikan sebagai R, menyatakan ukuran yang menunjukkan selisih nilai antara maksimum dan minimum atau selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil.
Rentang merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil.Semakin kecil nilai R maka kualitas data akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai R, maka kualitasnya semakin tidak baik.
Rentang cukup baik digunakan untuk mengukur penyebaran data yang simetrik dan nilai datanya menyebar merata.Ukuran ini menjadi tidak relevan jika nilai data maksimum dan minimumnya merupakan nilai ekstrim.
Rentang = Xmax – Xmin,
Xmax adalah data terbesar dan Xmin adalah data terkecil.
2.1.2.3 Deviasi Rata-rata
Arti deviasi rata-rata penyebaran Berdasarkan harga mutlak simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya.Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi rata-rata.
2.1.2.4 Varians
Arti penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya ; melihat ketidaksamaan sekelompok data
2.1.2.5 Deviasi Standar
penyebaran berdasarkan akar dari varians dan menunjukkan keragaman kelompok data.
2.1.2.6 Median
Median adalah salah satu ukuran pemusatan yang sering digunakan.Median dari segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau dari terbesar sampai terkecil adalah pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila banyaknya pengamatan itu ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan genap.
contoh :
Dari lima kali kuiz statistika, seorang mahasiswa memperoleh nilai 82, 93, 86, 92, dan 79. Tentukan median populasi ini.
jawab: Setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh79 82 86 92 93Oleh karena itu medianya adalah 86
Kada nikotin yang berasal dari sebuah contoh acak enam batang rokok cap tertentu adalah 2.3, 2.7, 2.5, 2.9, 3.1, dan 1.9 miligram. Tentukan mediannya.
jawab: Bila kadar nikotin itu diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar, maka diperoleh1.9 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1
Maka mediannya adalah rata-rata dari 2.5 dan 2.7, yaituMedian = = 2.6
Selain itu juga dapat dicari median dari data yang telah tersusun dalam bentuk distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan ada dua, yaituMedian = + c
Dimana :Bbk = batas kelas bawah medianc = lebar kelass = Selisih antara nomor frekuensi median dengan frekuensi kumulatif dari kelas-kelas di muka kelas medianfM = frekuensi kelas median
median = -
Dimana :Bak=batas kelas atas medianc= lebar kelass' = selisih antara nomor frekuensi median dengan frekuensi kumulatif sampai kelas medianfM = frekuensi kelas median
Sebelum menggunakan kedua rumus di atas, terlebih dahulu harus ditentukan kelas yang menjadi kelas median.Kelas median adalah kelas yang memuat nomor frekuensi median, dan nomor frekuensi median ini ditentukan dengan membagi keseluruhan data dengan dua.
Dengan menggunakan kedua rumus diatas didapa :
Median = 39.5 + 10
= 45.2Atau
Median = 49.5 - 10
= 45.2
2.1.3.2 Modus
Modus segugus pengamatan adalah nilai yang terjadi paling sering atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi. Modus tidak selalu ada, hal ini bila semua pengamatan mempunyai frekuensi terjadi yang sama. Untuk data tertentu, mungkin saja terdapat beberapa dengan frekuensi tinggi, dan dalam hal demikian kita mempunyai lebih dari satu modus.
contoh :
Sumbangan dari warga Bogor pada hari Palang Merah Nasional tercatat sebagai berikut: Rp 9.000, Rp 10.000, Rp 5.000, Rp 9.000, Rp 9.000, Rp 7.000, Rp 8.000, Rp 6.000, Rp 10.000, Rp 11.000. Maka modusnya, yaitu nilai yang terjadi dengan frekuensi paling tinggi, adalah Rp 9.000.
Dari dua belas pelajar sekolah lanjutan tingkat atas yang diambil secara acak dicatat berapa kali mereka menonton film selama sebulan lalu.Data yang diperoleh adalah 2, 0, 3, 1, 2, 4, 2, 5, 4, 0, 1 dan 4. Dalam kasus ini terdapat dua modu, yaitu 2 dan 4, karena 2 dan 4 terdapat dengan frekuensi tertinggi. Distribusi demikian dikatakan bimodus.
Sedangkan untuk mencari modus dari data yang telah disusun dalam bentuk distribusi frekuensi terlebih dahulu ditentukan kelas yang menjadi kelas modus. Kelas Modus adalah kelas yang mempunyai frekuensi paling tinggi, lalu nilai modus ditentukan menggunkan rumus berikut ini :
Modus = B1 + C
B1 = Batas bawah kelas modus.
d1 = Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas yang mendahuluinya.
d1 = Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas berikutnya.
c = Lebar kelas modus.
2.1.3.3 Mean
2.4.3.3.1 Mean
Didalam bagian ini dibicarakan mengenai harga rata-rata hitung (arithmetic mean), dimana harga rata-rata ini dapat digunakan untuk data yang tak tersusun (ungrouped data), yaitu data yang belum tersusun distribusi frekuensinya, ataupun data yang telah tersusun dalam bentuk distribusi frekuensi (grouped data).
Rata-rata hitung dikenal juga sebagai nilai tengah.Selain itu, rata-rata hitung dapat juga dibagi menjadi dua yaitu, rata-rata hitung untuk segugus data yang membentuk populasi, dan data yang merupakan contoh.
2.1.3.3.2 Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.
a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal
b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi
Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaianxi = data ke-i
c) Rumus Rataan Hitung Gabungan
2.1.3.4 Quartile
Quartile adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi empat bagian sama besar. Nilai-nilai itu, yang dilambangkan dengan Q1, Q2, dan Q3, mempunyai sifat bahwa 25% data jatuh dibawah Q1, 50% data jatuh dibawah Q2, dan 75% data jatuh dibawah Q3.
Contoh : Perhatikan table umur aki mobil dibawah ini, dan cari Quartile ke 1 (Q1).
Jawab : Untuk menghitung Q1 bagi distribusi umur aki, diperlukan nilai yang dibawahnya terdapat (25/100) X 40 = 10 pengamatan. Karena pengamatan yang ke 10 dan ke 11 sama dengan 3.1 tahun, maka rat-ratanya juga 3.1 tahun jadi Q1 = 3.1 tahun.
Sedangkan untuk menghitung Quartile dari data yang telah tersusun dalam bentuk distribusi frekuensi (grouped data), digunakan rumus berikut.
Jawab : Diperlukan sebuah nilai yang dibawahnya terdapat (75/100) X 50 = 37.5 pengmatan. Ada 27 pengamatan yang terdapat di bawah 15.5, sehingga masih diperlukan 10.5 diantara 15 pengamatan berikutnya. Sehingga didapat,
= 15.5 + 3
= 17.6
2.1.3.5 Desile
Desile adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi sepuluh bagian yang sama. Nilai-nilai itu, dilambangkan dengan D1, D2, .....D9, mempunyai sifat bahwa 10% data jatuh dibawah D1, 20% data jatuh dibawah D2, ..., dan 90% data jatuh dibawah D9.
Contoh : Hitung Desile yang ke-7 D7 untuk data-data yang terdapat pada tabel berikut ini
Jawab : Cara menghitung desile sama persis dengan cara menentukan quartile. Untuk menentukan D7 bagi distribusi umur aki, harus ditemukan nilai yang dibawahnya terdapat (70/100) X 40 = 28 pengamtan. Oleh karena nilai ini dapat berup sembarang nilai antara 3.7 tahun dan 3.8 tahun maka, yang diambil adalah rata-ratanya sehingga D7= 3.75 tahun.
Jadi dapat disimpulkan bahwa 70% dari semua aki jenis ini umurnya akan kurang dari 3.75 tahun .
Sedangkan untuk menghitung desile dari data yang telah tersusun dalam bentuk distribusi frekuensi (grouped data) digunakan rumus berikut.
Di = Bb + c
2.1.3.6 Persentile
Persentile adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi seratus bagian yang sama. Nilai-nilai itu, dilambangkan dengan P1, P2,...P99, mempunyai sifat bahwa 1% data jatuh dibawah P1, 2% data jatuh di bawah P2..., dan 99% data jatuh di bawah P99.
Sedangkan untuk menghitung persentile dari data yang telah tersusun dalam bentuk distribusi frekuensi (grouped data), digunakan rumus berikut.
Pi = Bb + C
Persentile ke-50, desil ke-5 dan quartil ke-2 suatu distribusi disebut median.Kuartil dan desil juga merupakan persentil.Misalnya, desil ke-7 adalah persentil ke-70, dan kuartil ke-2 adalah juga persentil ke-50.
2.1.4 Distribusi Frekuensi
Dalam suatu penelitian biasanya dilakukan suatu kegiatan pengumpulan data.Data-data ini digunakan untuk mendukung penelitian, dimana hasil dari penelitian ini bergantung dari banyak dan ketepatan data-data yang berhasil dikumpulkan.Untuk memudahkan penggunaan data-data itu dalam penelitian, data-data itu dapat diringkaskan atau disusun.
Salah satu cara untuk mengatur atau menyusun data adalah dengan mengelompokkan data-data berdasarkan ciri-ciri penting dari sejumlah besar data, ke dalam beberapa kelas dan kemudian dihitung banyaknya pengamatan yang masuk ke dalam setiap kelas. Susunan demikian ini dalam bentuk label, disebut Distribusi frekuensi. Selain itu dapat pula disajikan dalam bentuk diagram dan grafik.
Berdasarkan jenis data yang digolongkan didalamnya distribusi frekuensi dibagi menjadi dua yaltu, distribusi frekuensi bilangan (numerical frequency distribution) dan distribusi frekuensi kategoris (categorical frequency distribution).
Distribusi frekuensi bilangan adalah distribusi frekuensi yang berisikan data berupa angka-angka, dimana data itu dibagi atas golongan-golongan yang dinamakan kelas-kelas, menurut besarnya bilangan.
Tabel 2 .Distribusi Frekuensi Kategoris
Anak-anak Gadis Bersuami Janda
30 35 25 10
Distribusi frekuensi kategoris adalah distribusi frekuensi yang berisikan data bukan angka, dimana data itu dibagi atas golongan-golongan yang dinamakan kelas-kelas, berdasarkan sifat lain.
2.1.5 Distribusi Frekuensi Kumulatif
Dalam suatu keadaan yang menjadi titik perhatian mungkin bukan pada banyaknya pengamatan pada kelas tertentu, tetapi pada banyaknya pengamatan yang jatuh di atas atau di bawah sebuah nilai tertentu.Distribusi Frekuensi semacan ini dikenal dengan sebagai Distribusi Frekuensi Kumulatif.
Distribusi Frekuensi Kumulatif terdiri dari dua macam, yaitu distribusi kumulatif kurang dari dan distribusi kumulatif lebih dari.Distribusi Frekuensi Kumulatif kurang dari menunjukkan berapa banyaknya frekuensi pengamatan yang menunjukkkan nilai lebih kecil dari sebuah nilai atau nilai-nilai tertentu.Sedangkan Distribusi Frekuensi Kumulatif lebih dari menunjukkan berapa banyaknya frekuensi pengamatan yang menunjukkan nilai yang lebih besar dari sebuah nilai atau nilai-nilai tertentu.
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari
Batas Kelas
Frekuensi Relatif
kurang dari 1.45 0
Kurang dari1.95 2
Kurang dari 2.45 3
Kurang dari 2.95 7
Kurang dari 3.45 22
Kurang dari 3.95 32
Kurang dari 4.45 37
Kurang dari 4.95 40
Dari tabel distribusi frekuensi kumulatif diatas, ada 7 pengamatan yang mempunyai nilai kurang dari 3 .
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari
Batas Kelas Frekruensi Relatif
Lebih dari 1.45 40
Lebih dari 1.95 38
Lebih dari 2.45 35
Lebih dari 2.95 33
Lebih dari 3.45 18
Lebih dari 3.95 8
Lebih dari 4.45 3
Lebih dari 4.95 0
Dari tabel distribusi frekuensi kumulatif diatas ada 18 pengamatan yang mempunyai nilai lebih dari 3.
2.1.6 Penyajian Grafik
Distribusi frekuensi dapat juga disajikan dalam bentuk grafik. Penyajian grafik yang sangat luas digunakan bagi data numerik adalah diagram balok seperti gambar dibawah ini.
Diagram Balok umur Aki
Penyajian data lainnya adalah berbentuk Histogram. Histogram berbeda dengan Diagram Balok dala hal sebagai lebar baloknya digunakan batas kelas bukan limit kelas. Untuk beberapa masalah tertentu akan lebih baik bila sumbu tegaknya menyatakan frekuensi relatif atau persentase.Grafiknya disebut Histogram Frekuensi Relatif atau Histogram Persentase, bentuknya persis dengan histogram frekuensi, hanya skala tegaknya berbeda.
Histogram Frekuensi
Biasanya ada kecenderungan bahwa yang menjadi patokan adalah luas dari persegi panjang tersebut bukan tingginya. Tetapi untuk lebar kelas yang berbeda, tinggi persegi panjang itu harus dibagi dengan perbandingan lebar yang lebih besar dengan gaya yang lebih kecil. Hal ini dapat dilihat dalam gambar dibawah ini, karena lebar kelas yang dipakai ada dua lebar kelas, maka lebar kelas dari 2.5-3.4, lebar kelasnya harus kita bagi dengan lebar kelas lainnya, yaitu didapat ternyata lebar selang 2.5-3.4 dua kali lebih panjang dari lebar kelas lainnya. Sehingga tinggi dari kelas 2.5-3.4, harus dibagi
Histogram Frekuensi yang tidak benar dengan lebar kelas yang tidak sama
Histogram Frekuensi yang benar dengan lebar kelas yang tidak sama
Cara lainnya lagi adalah dalam bentuk poligon frekuensi.Poligon frekuensi dibentuk dengan memplotkan frekuensi kelas terhadap titik tengah kelas dan kemudian menghubungkan titik-titik yang berurutan dengan garis lurus. Dengan kata lain poligon merupakan bangun bersisi banyak yang tertutup. Jika frekuensi yang ada dalam bentuk frekuensi relatif, maka disebut poligon frekuensi relatif atau poligon persentase.
Poligon Frekuensi
Ogif atau Poligon Frekuensi Kumulatif
Grafik garis lainnya disebut Poligon Frekuensi Kumulatif atau Ogif, didapat dengan memplotkan frekuensi kumulatif yang lebih kecil daripada batas atas kelas terhadap batas atas kelasnya.
2.1.7 Kegunaan Statistik
Statistik berfungsi hanya sebagai alat bantu! Peranan statistik dalam penelitian tetap diletakkan sebagai alat. Artinya, statistik bukan menjadi tujuan yang menentukan komponen penelitian lain. Oleh sebab itu, yang berperan menentukan tetap masalah yang dicari jawabannya dan tujuan penelitian itu sendiri.
Statistik dapat berguna dalam penyusunan model, perumusan hipotesis, pengembangan alat pengambil data, penyusunan rancangan penelitian, penentuan sampel, dan analisis data, yang kemudian data tersebut diinterpretasikan sehingga bermakna.Hampir semua penelitian ilmiah dilakukan terhadap sampel kejadian, dan atas dasar sampel itu ditarik suatu generalization.Suatu generalisasi pasti mengalami error, disinilah salah satu tugas statistikbekerja atas dasar sampel bukan populasi.Dengan demikian pengujian hipotesis dapat kita lakukan dengan teknik-teknik statistik.
Dari hasil analisis statistik yang diperoleh berdasarkan perhitungan yang angka-angka tersebut, sebenarnya belum mempunyai arti apa-apa tanpa dideskripsikan dalam bentuk kalimat atau kata-kata di dalam penarikan kesimpulan. Jika tidak, maka hasil analisis tersebut tidak akan bermakna dan hanya tinggal angka-angka yang tidak "berbunyi".
2.2 Probabilitas
2.2.1 Pengertian Probabilitas
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus kita tentukan memilih yang mana.Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita harus pintar-pintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.
Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1.Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi.Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.
Contoh ; Ketika doni ingin pergi kerumah temannya, dia melihat langit dalam keadaan mendung, awan berubah warna menjadi gelap, angin lebih kencang dari biasanya seta sinar matahari tidak seterang biasanya.
Bagaimanakah tindakan Doni sebaiknya?
Ketika Doni melihat keadaan seperti itu, maka sejenak dia berpikir untuk membatalkan niatnya pergi kerumah temannya. Ini dikarenakan dia beripotesis bahwa sebentar lagi akanturunya hujan dan kecil kemungkinan bahwa hari ini akan tidak hujan, mengingat gejala-gejala alam yang mulai nampak.
Probabilitas dalam cerita tadi adalah peluang kemungkinan turunnya hujan dan peluang tidak turunnya hujan.
2.2.2 Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian
Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain;
• Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat. Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimagsudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti kita ketahui dari sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna.
• Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.
Menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang terkait tentang karakteristik populasi pada situssi ini kita hanya mengambil atau menarik kesimpulan dari hipotesis bukan berarti kejadian yang akan dating kita sudah ketehaui apa yang akan tertjadi.
• Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi.
Contoh:
Ketika diadakannya sensus penduduk 2000, pemerintah mendapatkan data perbandingan antara jumlah penduduk berjenis kelamin laki-laki berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin perempuan adalah memiliki perbandingan 5:6, sedangkan hasil sensus pada tahun 2010 menunjukan hasil perbandingan jumlah penduduk berjenis kelamin pria berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin wanita adalah 5:7. Maka pemerintah dapat mengambil keputusan bahwa setiap tahunnya dari tahun 2000 hingga 2010 jumlah wanita berkembang lebih pesat daripada jumlah penduduk pria.
2.2.3 Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejandian
Jika tadi kita hanya memperhatikan peluang suatu kejadian secara kualitatip, hanya memperhatikan apakkah kejadian tersebut memiliki peluang besar akan terjadi atau tidak. Disini kita akan membahas nilai dari probabilitas suatu kejadian secara kuantitatip. Kita bias melihat apakah suatu kejadian berpotensi terjadi ataukah tidak.
Misalkan kita memiliki sebuah dadu yang memiliki muka gambar dan angka,jika koin tersebut kita lemparkan keatas secara sembarang, maka kita memiliki 2 pilihan yang sama besar dan kuat yaitu peluang munculnya angka dan peluang munculnya gambar. Jika kita perhatikan secara seksaama, pada satu koin hanya terddiri dari satu muka gambar dan satu muka angka, maka peluang munculnya angka dan gambar adalah sama kuat yaitu ½. 1 menyatakan hanya satu dari muka pada koin yang mungkin muncul, entah itu gambar maupun angka sedangkan 2 menyatakan banyaknya kejadian yang mungkin terjadi pada pelemparan koin, yaitu munculnya gambar + munculnya angka.
Jika kita berbicara tidak lagi 2 kejadian yaitu menyangkut banyak kejadian yang mungkin terjadi,mengingat dan dari hasil pengumpulan dan penelitian data diperoleh suatu rumus sebagaiberikut. Jika terdapat N peristiwa, dan nA dari N peristiwa tersebut membentuk kejadian A, maka probabilitas A adalah :
Dimana : nA= banyaknya kejadian
N= kejadian seluruhnya/peristiwa yang mungkin terjadi
Contoh.
Suatu mata uang logam yang masing-masing sisinya berisi gambar dan angka dilemparkan secara bebas sebanyak 1 kali.
Berapakah probabilitas munculnya gambar atau angka?
Jawab :
n=1, N=2
p(gambar atau angka)=
p(gambar atau angka)=1/2 atau 50%
Dapat disimpulkan peluang munculnya gambar atau angka adalah sama besar.
Contoh 2.
Berapa peluang munculnya dadu mata satu pada satu kali pelemparan?
Jika kita tinjau pada sebuah dadu hanya memiliki 1 buah mata dadu bermata 1, sedangkan pada dadu terdapat 6 mata yaitu mata 1 sampai mata 6.
Maka
P(A) = nA/N
= 1/6
Berikut merupakan aturan dalam probabilitas
• Jika n = 0 makka peluang terjadinya suatu kejadian pada keadaan ini adalah sebesar P(A) = 0 atau tidak mungkin terjadi.
• Jika n merupakan semua anggota N maka probabilitasnya adalah satu, atau kejadian tersebut pasti akan terjadi
•
Probabilitas suatu kejadian memiliki rentangan nilai.Jika E menyatakan bukan peristiwa E maka berlaku
2.2.4 Hubungan Antar Kejadian
2.2.4.1 Exclusive Event
Exclusive event merupakan 2 kejadian atau lebih jika terjadinya kejadian yang satu mencegah terjadinya kejadian lain.
Exclusive event biasanya dihubungkan dengan kata atau.Jika dalam suatu peristiwa terdiri dari k buah kejadian maka dapat dirumuskan sebagai berikut.P(E1 atau E2 atau.... Ek)= P(E1)+P(E2)+…P(Ek)
Contoh.
Sebuah kotak berisi
A. 10 kelereng merah,
B. 20 hijau,
C. 30 kuning.
Isi kotak diaduk dan diambil 1 buahkelereng secara acak.Berapa probabilitas terambilnya
hijau atau kuning?
JAWAB :
P(A) =
P(B) =
P(C)=
Maka peluang terambilnya kelereng hijau atau kuning adalahP(B)+P(C) = 0,33 + 0,50 = 0,83
2.2.4.2 Dependent Event
Dependent event adalah terjadinya suatu peristiwa merupakan syarat dari peristiwa yang lainnya.Jika kejadian yang satu menjadi syarat terjadinya kejadian yang lain ditulis A|B, Kita tulis A |B untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului terjadinya peristiwa B. peluangnya ditulis dengan p(A |B) dan disebut dependent probability (probabilitas bersyarat). Untuk dependent events dihubungkan dengan kata dan, sehingga berlaku hubungan:
P(A dan B)=p(B).p (A |B)
Peluangnya ditulis dengan P (A│B) dan disebut dependent probabilityDependent event biasanya dihubungkan dengan kata “dan”.
Contoh.
Sebuah kotak berisi
A. 10 kelereng merah,
B. 20 hijau,
C. 30 kuning.
Isi kotak diaduk dan diambil 1 buahkelereng secara acakjika pengambilan pertama sebuah kelereng berwarna hijau(tanpa pengembalian).Berapakah probabilitas terambilnya sebuahkelereng berwarna merah pada pengambilan kedua?
Jawab:
Merupakan peluang kelereng warna hijau pada pengambilan pertama dan kelelereng warna merah pada pengambilan kedua.
2.2.4.3 Independent Event
Dua kejadian atau lebih dinamakan Independent Events, jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain.
Misalnya dua kejadian A dan B. Jika terjadinya atau tidak terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya kejadian B, maka A dan B disebut Independent Events. Untuk Independent Events dihubungkan dengan kata dan, sehingga berlaku hubungan: P(A dan B ) = p(A).p(B)
Untuk berlaku k buah peristiwa berlaku:
p(E1 dan E2 dan…..dan Ek ) = p(E1 ).p(E2 )….p(Ek )
contoh.
Dua buah dadu dilemparkan secara bebas satu kali.Berapakah probabilitas munculnya mata 2 dan 6 dari pelemparan tersebut?
2.2.4.4 Inclusive Event
Dua kejadian atau lebih dinamakan saling Inclusive events jika terjadinya kejadian yang satu tidak mencegah terjadinya kejadian yang lain.
Inclusive events biasanya dihubungkan dengan kata atau.
Misalnya kejadian A dan B merupakan kejadian Inclusif, berlaku hubungan atau A atau B atau kedua-keduanya terjadi. Untuk peristiwa tersebut berlaku:
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A+B)
Contoh.
Jika probabilitas kelahiran wanita dan pria adalah sama, dan probabilitas kelahiran anak berkulit putih, kulit hitam, dan sawo matang masing-masing adalah 0,2 , 0,5 , dan 0,3. Berapakah besarnya probabilitas kelahiran anak wanita yang berkulit putih?
Jawab.
Probabilitas kelahiran pria dan wanita adalah sama,sehingga p(pa atau w)= 0,50.
Probabilitas wanita-kulit putih=(0,50)(0,2)=0,1P(W+P)= 0,50+0,2-0,1=0,6
2.2.5 Hubungan Probabilitas Teoritik dan Probabilitas Empirik
Hubungan probabilitas teoritik dengan probabilitas empirik dapat dijelaskan melalui contoh dari pelemparan sebuah mata uang logam yang masih baik :
A = angka
G = gambar
2.2.5.1 Probabilitas teoritik
Kemungkinan/ probabilitas yang diperoleh dengan menggunakan cara-cara yang berlainan serta asumsi bahwa semua cara yang mungkin akan terjadi atas dasar kemungkinan yang sama (equally likely basis).
PenggunaannyaSuatu koin (uang logam)
DILEMPAR 1 KALI:
P(A)=0,50(50%)
P(G)= 0,50(50%)
DIILEMPAR 10 KALI:
P(A)= 0,50X10 kali=5 kali
P(G)= 0,50X10 kali=5 kali
Contoh.
Dalam permainan ini standar kartu 52 dek kartu remi yang digunakan.Dalam rangka untuk menang Anda harus memilih "kartu wajah."Berapa probabilitas bahwa Anda akan memenangkan permainan ini?
JAWAB:
Secara teori:
• Setiap kartu di dek memiliki kesempatan yang sama untuk terambil.
• Ada 12 wajah kartu (kartu menang) di geladak. Oleh karena itu probabilitas menang pada permainan berikutnya adalah:
2.2.5.2 Probabilitas Empirik.
Kemungkinan tentang terjadinya suatu peristiwa yang dihitung atas dasar pengalaman-pengalaman atau percobaan-percobaan tentang apa yang terjadi pada saat-saat yang sama di masa yang lalu atau atas dasar catatan statistik.
Karena dalam menentukan probabilitas empiris Anda benar-benar melakukan percobaan, kadang-kadang probabilitas empirik disebut:
"eksperimental probabilitas."
Pada kenyataannya sangat jarang terjadi demikian, karena ada kemungkinan muncul jumlah angka atau gambar yang bervariasi dalam 10 kali pelemparan.Kemungkinannya tidak hanya berkisar antara 5G dan 5A, namun bisa saja kemungkinanmunculnya angka dan gambar adalah 3G dan 7A, 4G dan 6A, dan lainnya.
Sebagai contoh, suatu produsen radio, produksi 1000 buah radionya diuji secara acak.Setelah pengujian, mereka menemukan 15 dari 1000 radio tersebut cacat.
Kita dapat dengan mudah menentukan bahwa probabilitas empiris bahwa radio rusak akan menjadi
Sebagai desimal akan menjadi 0,15 dan sebagai suatu persen itu akan menjadi = 1,5%.Sekarang produsen dapat menggunakan hasil ini untuk memprediksi bahwa dalam produksi 7.500 radio, 1,5% dari mereka mungkin akan rusak.Jadi mereka memprediksi bahwa (0,15) (7500) = 112,5 radio rusak.2.2.6 Menghitung Nilai Harap (ekspektasi) dari suatu kejadian.
Contoh:
Ani dan Ina bertaruh dalam pelemparan muka dadu. Jika dalam pelemparan tersebut nampak angka ganjil, maka Ani kalah dan harus membayar kepada Ina Rp 1.000,-. Dan jika nampak angka genap, maka Ina kalah dan harus membayar kepda ani Rp 1.000,-. Peluang munculnya angka genap dan angka ganjil pada dadu masing-masing adalah 1/2. Jadi peluang Ani untuk membayar uang kepda Ina adalah ½, dan peluangnya untuk menang juga ½, sehingga ekspektasi taruhan itu adalahξ (untuk Ani) = ½(Rp100) + ½(-Rp100) = Rp 0.
Untuk Ina juga berlaku hal yang sama. Berarti dalam jangka waktu yang cukup lama, dalam permainan ini Ani dan Ina masing-masing menang nol rupiah.
2.2.7 Dua Kejadian saling Lepas
Bila A dan B dua kejadian sembarang pada S dan berlaku A ∩ B = ϕ , maka A dan B dikatakan saling lepas atau saling bertentangan atau saling terpisah (mutually exclusive).
P ( A U B) = P(A)+P(B)
Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka P( A ∩ B) = P(ϕ)=0 , sehingga probabilitas kejadian A U B dirumuskan Sebagai berikut.
Contoh.
Bila A dan B dua Kejadian saling Lepas, dengan P(A) = 0,3 dan P(B) = 0,25 , tentukanlah
P ( A U B) !
Jawab :
Karena A dan B saling lepas, maka berlakuP ( A U B) = P(A) + P(B) = 0,3 +0,25 = 0,55
2.2.8 Dua Kejadian Saling Komplementer
Dalam teori himpunan disebutkan bahwa bila himpunan A ϵ S , maka komplemen A yang ditulis atau adalah himpunan yang anggotanya S tetapi bukan anggota A atauP ( ) = 1- P(A)={xϵS│x≠ϵA)
Kejadian adalah kumpulan titik sampel titik sampel yang merupakan titik sampel S.Rumus
2.2.9 Dua Kejadian saling bebasP ( A∩B) = P(A).P(B)
Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas, maka berlaku lah rumus berikut.
Rumus
Contoh :
Jika diketahui dua kejadian A dan B saling bebas dengan P(A) = 0,3 dan P(B) = 0,4 maka berlaku :
P ( A∩B) = P(A).P(B) = (0,3)(0,4) = 0,12
2.2.10 Permutasi dan Combinasi
2.2.10.1 Permutasi
Permutasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut diperhatikan.
Secara matematik, dari sebuah himpunan yang mempunyai elemen sebanyak n, banyaknya permutasi dengan ukuran (permutasi dengan jumlah elemen) r ditulis sebagai P(n,r) atau nPr ataunPr.
Rumusnya adalahP(n,r) = nPr = nPr = n n!n-r !
dimana n! (n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.
Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan{b,a}.Banyaknya permutasi adalah 6.
Contoh lainnya:
Berapa banyaknya cara untuk mengatur 5 buku yang berbeda di atas rak buku?
Jawaban: Di sini, n = 5 dan r = 5.
Jadi, 5P5 = 5!/(5-5)! = 5!/0! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/1 = 120.
Seperti terlihat dari contoh di atas, jika n = r, rumus untuk nPr = n!.
2.2.10.1.1 Permutasi Melingkar/Keliling
Permutasi melingkar adalah suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar. Dua permutasi melingkar dianggap sama bila didapatkan dua himpunan permutasi yang sama dengan cara beranjak dari suatu anggota tertentu dan bergerak searah jarum jam. Banyaknya permutasi yang disusun secara melingkar adalah (n-1) !
Contoh.
Dalam tahun ajaran baru setiap kelas dianjurkan untuk membentuk susunan pengurus kelas yang baru. Jika hanya dipilih 1 ketua kelas, 1 wakil ketua kelas , 1 bendahara dan 1 sekertaris dari 8 orang calon, tentukan kemungkinan yang akan terjadi.
Jawab.
Maka aka nada 1680 kemungkinan atau cara membentuk susunan pengurus kelas yang baru dari 8 orang calon.
2.2.10.2 Combinasi
Kombinasi didefinisikan sebagai susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut kombinasi yang ditulis dengan lambang C.
Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r lebih kecil atau sama dengan n, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan cara kombinasi adalah :
Kombinasi ditulis juga dengan cara : C(n,r) atau Cn,r
Susunan pada combinasi tidaklah memperhatikan urutan seperti pada permutasi, oleh daripada itu combinasi n objek yang diambil dari n adalah sebagai berikut,
Contoh.
Berapa banyaknya kemungkinan pasangan antara calon presiden dan wakil presiden jika ada 8 buah calon.
Jawab.
Karena ditanya pasangan, maka akan dibentuk tim yang terdiri dari 2 orang dari 8 calon, maka dapat dicari dengan cara.
Maka hanya ada 28 kemungkinan pasangan yang akan terjadi.
2.2.11 Bagian-Bagian Peluang berdasarkan Definisi
2.2.11.1 Pendekatan Klasik
Peluang klasik dari sebuah peristiwa adalah rasio antara jumlah peristiwa yang bisa terjadi dengan jumlah semua hasil yang bisa terjadi, dimana hasil ini dapat diturunkan dari sebuah eksperimen.
Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:
P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P (A) = b/a+b
RUMUS :
P(peristiwa) = x=Jumlah cara terjadinya suatu peristiwa2Jumlah cara terjadinya semua hasil
Contoh:
Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?
Jawab: P (A) = 15/10+15 = 3/5
2.2.11.2 Pendekatan subyektif
Peluang subjektif adalah sebuah bilangan antara 0 dan 1 yang digunakan seseorang untuk menyatakan perasaan ketidakpastian tentang terjadinya peristiwa tertentu.Peluang 0 berarti seseorang merasa bahwa peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi, sedangkan peluang 1 berartibahwa seseorang yakin bahwa peristiwa tersebut pasti terjadi.Definisi ini jelas merupakan pandangan subjektif atau pribadi tentang peluang.
Meski peluang subjektif tidak didasarkan pada suatu eksperimen ilmiah, namun penggunaannya tetap bisa dipertanggungjawabkan.Dalam menentukan nilai peluang ini, seorang pengambil keputusan tetap menggunakan prinsip-prinsip logis yang didasarkan pada pengalaman yang diperolehnya. Seorang pengambil keputusan sudah mengetahui secara nyata apa faktor-faktor yang mempengaruhi keputusannya sehingga dia bisa memprediksi apa kira-kira yang bakal terjadi dari keputusan yang diambilnya. Yang masih menjadi pertanyaan adalah apakah peluang subjektif dapat digunakan untuk keperluan analisis statistika selanjutnya.Kelompok statistika objektif atau klasik menolak penggunaan peluang subjektif ini, sebaliknya kelompok Bayes menerimanya.Bukan tujuan kita untuk membahas perdebatan ini, kecuali bahwa penggunaan peluang subjektif tampak sesuai dalam pengambilan keputusan bisnis. Berbeda halnya dengan penelitian kimia, pertanian, farmasi, kedokteran atau ilmu eksakta lainnya yang memang harus menggunakan peluang objektif sebagai dasar analisisnya. Sampai saat ini pengambilan keputusan berdasarkan peluang subjektif masih dibilang sebagai salah satu tehnik manajerial yang terbaik.
Contoh “Berapa peluang penjualan barang X bulan depan akan melebihi 50.000 unit jika dilakukan perubahan kemasan?”.Sudah barang tentu eksperimen tentang pengaruh perubahan kemasan terhadap volume penjualan dengan pengulangan yang sangat besar jarang dilakukan bahkan tidak pernah dilakukan. Meski menggunakan data penjualan bulanan bukan sesuatu yang musthail, akan tetapi tidaklah efisien jika perusahaan selalu merubah kemasan setiap bulannya hanya untuk meningkatkan volume penjualan. Olehkarena itu, biasanya seorang manajer menggunakan intuisi atau perasaannya dalam menentukan nilai peluang ini. Jadi tidaklah heran jika seorang manajer menyatakan “peluang terjualnya barang X melebihi 50.000 unit pada bulan depan adalah 0,40”.
2.2.11.3 Pendekatan Frekuensi Relatife
Nilai probabilitas/peluang ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi/percobaan (pengumpulan data).Jika sebuah eksperimen dilakukan sebanyak N kali dan sebuah peritiwa A terjadi sebanyak n(A) kali dari N pengulangan ini, maka peluang terjadinya peristiwa A dinyatakan sebagai proporsi terjadinya peristiwa A ini.
Contoh:
Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?
Jawab:
P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80
Probabilitas disajikan dengan symbol P, sehingga P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Dalam suatu observasi/percobaan kemungkinan kejadian ada 2, yaitu “terjadi (P(A)) atau “tidak terjadi” (P(A)’), maka jumlah probabilitas totalnya adalah P(A) + P(A)’ = 1
2.2.12 JENIS KEJADIAN
2.2.12.1 Berdasarkan peluang terjadinya.
a. Kejadian Saling Meniadakan (Mutually Exclusive)
yaitu kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.
Contoh: Hasil Ujian: Lulus vs Tidak lulus
Keadaan : Dingin vs Panas
Cuaca : Hujan vs Tidak Hujan
b. Kejadian Tidak Saling Meniadakan (Non-Mutually Exclusive), yaitu kejadian
Contoh: Keadaan vs Cuaca : Dingin vs Tidak hujan
Dingin vs Hujan
Panas vsTidak hujan
Panas vs Hujan
2.2.12.2 Berdasarkan pengaruh/hubungannya
a. Kejadian Independen
yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain.
b. Kejadian Dependen
yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain.yang dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.
2.2.13 PERHITUNGAN NILAI PELUANG
2.2.13.1 Hukum Penjumlahan
Digunakan apabila kita ingin menghitung probabilitas suatu kejadian tertentu atau yang lain (atau keduanya) yang terjadi dalam suatu percobaan/kejadian tunggal.
Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan;
P(A atau B) = P (AB) = P(A) + P(B)
Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:
1. Dua KejadianP(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) atauP(AB) = P(A) + P(B) – P(AB).
2. Tiga KejadianP(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A dan B) – P(A dan C) – P(Bdan C) + P(A dan B dan C) atau P(AÈBÈC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AÇB) – P(AÇC) – P(BÇC) + P(AÇBÇC)
2.2.13.2 Hukum Perkalian
Hukum perkalian untuk 2 kejadian Independen: P(A dan B) = P(A) x P(B)
Hukum perkalian untuk 3 kejadian Independen:P(AÇB) = P(A) x P(B) x P(C)
Hukum perkalian untuk kejadian dependen: P(A dan B) = P(A) x P(B)
atau
P(A dan B) = P(A x P(BA)atauP(B dan A) = P(B) x P(AB)
Contoh:
Berdasarkan pengalaman, sebuah produk susu kaleng yang lulus uji dalam hal berat bersih akan diberi nilai 0.95. Lembaga konsumen membuktikan pernyataan tersebut dengan cara mengukur 3 kaleng dengan sebuah alat ukur tertentu. Dengan asumsi bahwa jika kaleng 1 lulus uji, maka kaleng 2 dan 3 belum tentu lulus, maka tentukan:
a. Berapa probabilitas bahwa ketiga kaleng tsb lulus uji?
b. Berapa probabilitas bahwa hanya dua kaleng yang lulus uji?
c. Berapa probabilitas bahwa tidak ada yang lulus uji?
Jawab:
a. P(3 lulus uji) = P(k1 dan k2 dan k3)= 0.95 x 0.95 x 0.95 = 0.86
b. P(2 lulus uji) = P(K1 dan K2 dan K3’)+P(K1 dan K2’ dan K3)+P(K1 dan K2 dan K3’)
= (0.95 x 0.95 x0.05) + (0.09 x 0.05 x 0.95 + (0.05 x 0.95 x 0.95)
= 0.14
c. P(tidak ada yang lulus uji) = P(K1’ dan K2’ dan K3’)= 0.05 x 0.05 x 0.05
= 0.000125
2.2.14 Teorema bayes
Hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (A) dengan syarat peristiwa lain telah terjadi, dan probabilitas terjadinya peristiwa (X) dengan syarat peristiwa A telah terjadi.
P(Ai/Xi)= [P(Ai) P(Xi/ Ai)]/ [∑P(Ai) P(Xi/ Ai)]
Nilai harapan atau nilai ekspektasi dari sebuah fungsi peubah acak X, g(X) dilambangkan dengan E[g(X)] dapat didefinisikan sebagai berikutEkspektasi matematis E(X) = ∑X.P(X)
Contoh :
Dalam sebuah permainan judi 2 angka (00 s/d 99), jika kita membayar untuk satu lembar kupon sebesar X kita akan memperoleh hadiah sebesar 60X jika menang (sebetulnya 59X, karena X lainnya adalah uang kita). Jika peluang munculnya angka sama, maka berapakah nilai harapan memenangkannya ?
2.2.15 Aturan Probabilitas
Suatu peristiwa E dapat terjadi sebanyak “h” kali diantara sejumlah “n” peristiwa yang mungkin, dengan ketentuan h <= n. Dengan demikian nilai probabilitas dari peristiwa paling kecil adalah 0 (nol) dan paling besar adalah 1 (satu) atau diformulasikan menjadi: 0 <= P (E) <= 1 ; dimana P (E) merupakan probabilitas suatu peristiwa.
Jika P(E) = 0, maka peristiwa E “pasti tidak terjadi”.
Jika P(E) = 1, maka peristiwa E “pasti terjadi”.
Jika P(E) mendekati 0 (nol) maka peristiwa E kemungkinan terjadinya “kecil”.
Jika P(E) mendekati 1 (satu) maka peristiwa E kemungkinan terjadinya “besar”.
Apabila kemingkinan terjadinya peristiwa E diberi notasi P(E), maka kemungkinan terjadinya “bukan E” diberi notasi P(nE), sehingga P(nE) = 1 – P(E). Peritiwa E dan nE merupakan peristiwa yang “komplementer” satu sama lain.
Contoh :
Jika sebuah dadu dilempar satu kali maka peristiwa untuk tampak mata 5 adalah sebesar P(E) = 1/6 = 0,167. Sedangkan untuk tampak selain mata 5 adalah sebesar 5/6 = 0,833 atau 1 – 0,167 = 0,833.
2.2.16 Probabilitas Lebih Dari Satu Peristiwa
Suatu suatu percobaan “tunggal” dimungkinkan akan terjadi beberapa peristiwa, maka peristiwa yang satu dengan peristiwa yang lain dipisahkan dengan tanda “atau” (U). Misalnya dalam percobaan satu kali pelemparan sebuah dadu, maka probabilitas keluar mata 4 atau mata 5 adalah ditulis P (4 U 5).Peristiwa yang terjadi dalam percobaan tunggal tersebut dapat bersifat Mutually Exclusive atau bersifat Non-Mutually Exclusive.
Dalam percobaan yang banyak, maka peristiwa yang muncul akan banyak. Karena percobaan banyak dan peristiwanya juga banyak, maka antara peristiwa yang satu dengan yang lain diberi tanda “dan” (∩). Peristiwa yang banyak dalam percobaan yang banyak dapat bersifat Independent atau bersifat Dependent.
2.2.17 Kejadian Tak Bebas
Dua peristiwa atau lebih disebut kejadian tidak bebas apabila peristiwa yang satu dipengaruhi atau tergantung pada peritiwa lainnya.
Probabilitas peristiwa tidak saling bebas dapat pula dibedakan atas tiga macam, yaitu yaitu probabilitas bersyarat, gabungan, dan marjinal.
a. Probabilitas Bersyarat :
Probabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap A, probabilitas terjadinya periwtiwa tersebut adalah
P(B/A) dibaca probabilitas terjadinya B dengan syarat peristiwa A terjadi.
Contoh :
Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :
5 buah bola putih bertanda +
1 buah bola putih bertanda –
3 buah bola kuning bertanda +
2 buah bola kuning bertanda –
Seseorang mengambil sebuah bola kuning dari kotak
- Berapa probabilitas bola itu bertanda +?
Penyelesaian :
Misalkan : A = bola kuning
B+ = bola bertanda positif
B- = bola bertanda negatif.
P(A) = 5/11
P(B+ A) = 3/11
b. Probabilitas Gabungan :
Probabilitas gabungan peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya dua atau lebih peristiwa secara berurutan(bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu saling mempengaruhi.
Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah
P(A dan B) = P(A B) = P(A) x P(B/A)
Jika tiga buah peristiwa A, B, dan C gabungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah
P(A B C) = P(A) x P(B/A) x P(C/A B)
Contoh :
Dari satu set kartu bridge berturut-turut diambil kartu itu sebanyak 2 kali secara acak. Hitunglah probabilitasnya kartu king (A) pada pengambilan pertama dan as(B) pada pengambilan kedua, jika kartu pada pengambilan pertama tidak dikembalikan !
Penyelesaian :
(A) = pengambilan pertama keluar kartu king.
P(A) = 4/52
(B/A) = pengambilan kedua keluar kartu as
P(B/A) = 4/51
P(A B) = P(A) x P(B/A)
= 4/52 x 4/51
= 0,006
c. Probabilitas Marjinal :
Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya peristiwa A tersebut adalah
P(A) = P(B A)
= P(Ai) x P(B/Ai), i = 1, 2, 3, …..
Contoh :
Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :
5 buah bola putih bertanda +
1 buah bola putih bertanda –
3 buah bola kuning bertanda +
2 buah bola kuning bertanda –
Tentukan probabilitas memperoleh sebuah bola putih !
Penyelesaiana :
Misalkan : A = bola putih
B+ = bola bertanda positif
B- = bola bertanda negatif
P(B+ A) = 5/11
P(B- A) = 1/11
P(A) = P(B+ A) + P(B- A)
= 5/11 + 1/11
= 6/11
2. Kejadian Bebas :
Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, kalau kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya. Jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka P(A/B) = P(A) dan P(B/A) = P(B)
P(A B) = P(A) P(B) = P(B) P(A)
Contoh :
Satu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1 adalah lemparan pertama yang mendapat gambar burung(B), dan A2 adalah lemparan kedua yang mendapatkan gambar burung(B), berapakah P(A1 A2)!
Penyelesaian :
Karena pada pelemparan pertama hasilnya tidak mempengaruhi pelemparan kedua dan P(A1) = P(B) = 0,5 dan P(A2) = P(B) = 0,5, maka P(A1 A2) = P(A1) P(A2) = P(B) P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25.
Rumus Bayes :
Jika dalam suatu ruang sampel (S) terdapat beberapa peristiwa saling lepas, yaitu A1, A2, A3, …., An yang memiliki probabilitas tidak sama dengan nol dan bila ada peritiwa lain (misalkan X) yang mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, …., An maka probabilitas terjadinya peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, …., An dengan diketahui peristiwa X tersebut adalah
Contoh :
Tiga kotak masing-masing memiliki dua laci.Didalam laci-laci tersebut terdapat sebuah bola.Didalam kotak I terdapat bola emas, dalam kotak II terdapat bola perak, dan dalam kotak III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak?
Penyelesaian :
Misalkan : A1 peristiwa terambil kotak I
A2 peristiwa terambil kotak II
A3 peristiwa terambil kotak III
X peristiwa laci yang dibuka berisi bola emas
Kotak yang memenuhi pertanyaan adalah kotak III (P(A3/X)).
P(A1) = 1/3 P(X/A1) = 1
P(A2) = 1/3 P(X/A2) = 0
P(A3) = 1/3 P(X/A3) = ½
=
F. PERMUTASI DAN KOMBINASI
Pembicaraan mengenai permutasi dan kombinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar membilang dan faktorial.
1. Prinsip Dasar Membilang :
Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n1 cara, kejadian kedua dalam n2 cara, demikian seterusnnya, sampai kejadian k dalam nk cara, maka keseluruhan kejadian dapat terjadi dalam :
n1 x n2 x …x nk cara
Contoh :
Seorang pengusaha ingin bepergian dari Jakarta ke Ujungpandang melalui Surabaya. Jika Jakarta – Surabaya dapat dilalui dengan tiga cara dan Surabaya – Ujungpandang dapat dilalui dengan dua cara, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya?
Penyelesaian :
misalkan : dari Jakarta ke Surabaya (n1) = 3 cara.
Dari Surabaya ke Ujungpandang (n2) = 2 cara.
Cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya adalah :
n1 x n2 = 3 x 2 = 6 cara.
2. Faktorial :
Faktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya.
Faktorial dilambangkan: “!”.
Jika : n = 1,2, …., maka :
n! = n(n – 1)(n – 2) ….x 2 x 1
= n(n –1)!
Contoh :
Tentukan nilai factorial dari bilangan berikut
a. 5!
b. 3! X 2!
c. 6!/4!
Penyelesaian :
a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
b. 3! X 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12
c.
Permutasi :
1. Pengertian Permutasi :
Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.
Contoh :
Ada 3 objek, yaitu ABC.Pengaturan objek-objek tersebut ialah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 objek menghasilkan enam pengaturan dengan cara yang berbeda.
2. Rumus-rumus Permutasi :
a. Permutasi dari m objek seluruhnya tanpa pengembalian : mPm = m!
Contoh :
Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda. Buku itu akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari buku-buku matematika dapat disusun.
Penyelesaian :
Buku-buku matematika dapat disusun dalam :
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.
b. Permutasi sebanyak x dari m objek tanpa pengembalian :
Contoh :
Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, D hendak dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara.
Berapa cara keempat calon tersebut dipilih?
Penyelesaian:
m = 4 dan x = 3
4P3 =
c. Permutasi dari m objek dengan pengembalian :
mPx = mx
x ≤ m dan bilangan bulat positif
Contoh :
Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsure yang terpilih!
Penyelesaian :
M = 3 dan x = 2
3P2 = 32 = 9
yaitu : AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB
d. Permutasi daaari m objek yang sama :
m!
mPm1, m2, m3, … = -----------------------
m1! . m2! . m3! ….
Dengan m1 + m2 + m3 + ….= m
Contoh :
Tentukan permutasi dari kata “TAMAT”
Penyelesaian :
M = 5, m1 = 2, m2 = 2, m3 = 1
5! 5 x 4 x 3 x 2 x 1
5P2, 2, 1 = --------------- = -------------------- = 30
2! .2! . 1! 2 x 1 x 2 x 1 x 1
Kombinasi :
1. Pengertian Kombinasi :
Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut.
Contoh :
Ada 4 objek, yaitu : A, B, C, D. Kombinasi 3 dari objek itu adalah ABC, ABD, ACD, BCD. Setiap kelompok hanya dibedakan berdasarkan objek yang diikutsertakan, bukan urutannya. Oleh karena itu :
ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCA
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB
2. Rumus-rumus Kombinasi :
a. Kombinasi x dari m objek yang berbeda :
m!
mCx = -------------- ; m x
(m – x)!.x!
Contoh :
Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemain ganda.Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk?
Penyelesaian :
M = 5 dan x = 2
5!
5C2 = ---------------- = 10
(5 – 2)! . 2!
BAB III
PENUTUP
Demikianlah penulisan makalah ini yang telah kami buat.Dari hasil pembahasan yang telah penulis bahas pada makalah ini maka dapat kita ambil kesimpulan dan rekomendasi.
3.1. Kesimpulan
Statistik adalah sebagai alat pengolah data angka.Stasistik dapat juga
diartikan sebagai metode/asas-asas guna mengerjakan/memanipulasi data kuantitatif agar angka berbicara.Pendekatan dengan statistik sering digunakan metode statistik yaitu metode guna mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisis & menginterpretasikan data statistik.Statistika dapat pula diartikan pengetahuan yang berhubungan dengan pengumpulan data, pengolahan data, penganalisisan dan penarikan kesimpulan berdasarkan data dan analisis.Jadi statistik adalah produk dari kerja statistika.
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.
Ada empat tipe pengukuran atau skala pengukuran yang digunakan di dalam statistika, yakni: nominal, ordinal, interval, dan rasio. Keempat skala pengukuran tersebut memiliki tingkat penggunaan yang berbeda dalam riset statistik.
Dispersi data adalah ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data.
Memiliki Jenis ukuran :
Dispersi Mutlak : Jangkauan (range), Simpangan rata-rata (mean deviation), Variansi (variance), Standar deviasi (standard deviation), Simpangan kuartil (quartile deviation)Dispersi Relatif : Koefisien variasi (coeficient of variation).
Pentingnya kita mempelajari dispersi data didasarkan pada pertimbangan.Pertama, pusat data seperti rata-rata hitung, median dan modus hanya memberi informasi yang sangat terbatas, sehingga tanpa disandingkan dengan dispersi data kurang bermanfaat dalam analisis data.Kedua, dispersi data sangat penting untuk membandingkan penyebaran dua distribusi atau lebih.
Perlu dicermati bahwa peristiwa saling bebas tidak sama dengan peristiwa eksklusif. Dalam konsep teori himpunan, peristiwa saling eksklusif tidak mempunyai ruang sample yang mengandung titik yang sama (irisan), sedangkan dalam peristiwa saling bebas dua peristiwa A dan B akan memiliki titik yang sama jika A dan B mempunyai peluang yang tidak nol.
3.2.Saran
Dalam kehidupan sehari – hari bahwa penggunaan aplikasi microsoft Excel dan juga SPSS dapat memberikan manfaat yang besar bagi suatu organisasi perusahaan maupun pendidikan yaitu waktu dapat menjadi lebih efisien ketika melakukan pengolahan data mentah menjadi data berkelompok yang nantinya menjadi informasi bagi organisasi tersebut dalam menentukan keputusan yang lebih baik di masa yang akan datang. Sebaliknya, jika sebuah organisasi perusahaan maupun pendidikan masih menerapkan penghitungan manual dalam pengolahan data statistik, maka waktu yang ada menjadi kurang efisien dan pengerjaan dalam mengolah data menjadi kurang efektif.Dan juga bila dibandingkan hasil dari pengolahan data secara manual dengan hasil pengolahan data secara otomatis yaitu dengan aplikasi microsoft excel dan SPSS, akan memperoleh hasil yang berbeda dari keduanya. Tingkat keakuratan pengolahan data secara otomatis lebih mendekati kebenaran daripada pengolahan data secara manual.
Perlu dicermati bahwa peristiwa saling bebas tidak sama dengan peristiwa eksklusif. Dalam konsep teori himpunan, peristiwa saling eksklusif tidak mempunyai ruang sample yang mengandung titik yang sama (irisan), sedangkan dalam peristiwa saling bebas dua peristiwa A dan B akan memiliki titik yang sama jika A dan B mempunyai peluang yang tidak nol.
SEMOGA BERMANFAAT YAHH GUY.....
salam TEKNIK UMUSLIM......
Posisi tumpuan (dapat berupa sendi atau rol) harus berada pada titik buhul. Berdasarkan pertimbangan stabilitas struktur, bentuk dasar dari rangkaian tersebut umumnya adalah berbentuk segitiga. 
